SymPy 是一款用于符号运算的 Python 库。它旨在成为 Mathematica 或 Maple 等系统的替代品，同时保持代码尽可能简单且易于扩展。SymPy 完全用 Python 编写，不需要任何外部库。

 

目录

• sympy第一步

将symy用作计算器

符号

• 代数操作

展开

化简

• 微积分

极限

微分

级数展开

积分

• 方程求解

• 线性代数

矩阵

微分方程

---

3.2.1. SymPy 的第一步

3.2.1.1. 使用 SymPy 作为计算器

SymPy 定义了三种数值类型实数，有理数和整数。

有理数类将有理数表示为一对两个整数：分子和分母，因此 表示 1/ 2、5/2 等：Rational(1, 2)Rational(5, 2)

>>>

>>> import sympy as sym
>>> a = sym.Rational(1, 2)

>>> a
1/2

>>> a*2
1

SymPy 在后台使用 mpmath，这使得使用任意精度算术执行计算成为可能。这样，一些特殊的常数，如e, pi, 无穷大(Infinity) 被视为符号并且可以以任意精度计算：

>>>

>>> sym.pi**2
pi**2

>>> sym.pi.evalf()
3.14159265358979

>>> (sym.pi + sym.exp(1)).evalf()
5.85987448204884

evalf将表达式计算为浮点数。

还有一个表示数学无穷大的类， oo：

>>>

>>> sym.oo > 99999
True
>>> sym.oo + 1
oo

3.2.1.2. 符号

与其他计算机代数系统相比，在 SymPy 中你必须显式声明符号变量：

>>>

>>> x = sym.Symbol('x')
>>> y = sym.Symbol('y')

然后可以操作它们：

>>>

>>> x + y + x - y
2*x

>>> (x + y) ** 2
(x + y)**2

现在可以使用一些 python 运算符来操作符号：+、（算术）、&、| , ~ , >>, << (布尔值)。-`, ``***

print

Sympy 允许控制输出的显示。从这里我们使用以下设置进行print：

>>>

>>> sym.init_printing(use_unicode=False, wrap_line=True)

3.2.2.代数运算

SymPy 能够执行强大的代数运算。我们将研究一些最常用的：展开和化简。

3.2.2.1.展开

使用它来展开代数表达式。它将尝试消除幂和乘法：

>>>

>>> sym.expand((x + y) ** 3)
 3      2          2    3
x  + 3*x *y + 3*x*y  + y
>>> 3 * x * y ** 2 + 3 * y * x ** 2 + x ** 3 + y ** 3
 3      2          2    3
x  + 3*x *y + 3*x*y  + y

可以在关键字的表单中提供更多选项：

>>>

>>> sym.expand(x + y, complex=True)
re(x) + re(y) + I*im(x) + I*im(y)
>>> sym.I * sym.im(x) + sym.I * sym.im(y) + sym.re(x) + sym.re(y)
re(x) + re(y) + I*im(x) + I*im(y)

>>> sym.expand(sym.cos(x + y), trig=True)
-sin(x)*sin(y) + cos(x)*cos(y)
>>> sym.cos(x) * sym.cos(y) - sym.sin(x) * sym.sin(y)
-sin(x)*sin(y) + cos(x)*cos(y)

3.2.2.2. 化简

如果您想将表达式转换为更简单的形式，请使用简化：

>>>

>>> sym.simplify((x + x * y) / x)
y + 1

化简是一个有点模糊的术语，并且存在更精确的化简替代方案：（powsimp指数的简化），（ trigsimp对于三角表达式） ，logcombine，radsimp

3.2.3. 微积分

3.2.3.1.极限

限制在 SymPy 中很容易使用，语法limit(function, variable, point)，比如要计算f(x)在x趋于0的极限，使用limit(f, x, 0)

>>>

>>> sym.limit(sym.sin(x) / x, x, 0)
1

还可以计算无穷大的极限：

>>>

>>> sym.limit(x, x, sym.oo)
oo

>>> sym.limit(1 / x, x, sym.oo)
0

>>> sym.limit(x ** x, x, 0)
1

3.2.3.2.微分

使用 diff(func, var) 计算任何 SymPy 的表达式。例子：

>>>

>>> sym.diff(sym.sin(x), x)
cos(x)
>>> sym.diff(sym.sin(2 * x), x)
2*cos(2*x)

>>> sym.diff(sym.tan(x), x)
   2
tan (x) + 1

通过以下方式检查它是否正确：

>>>

>>> sym.limit((sym.tan(x + y) - sym.tan(x)) / y, y, 0)
   2
tan (x) + 1

可以使用以下方法计算更高阶的导数：diff(func, var, n)

>>>

>>> sym.diff(sym.sin(2 * x), x, 1)
2*cos(2*x)

>>> sym.diff(sym.sin(2 * x), x, 2)
-4*sin(2*x)

>>> sym.diff(sym.sin(2 * x), x, 3)
-8*cos(2*x)

3.2.3.3.级数展开

SymPy 还知道如何计算一个表达式的泰勒级数。使用：series(expr, var)

>>>

>>> sym.series(sym.cos(x), x)
     2    4
    x    x     / 6\
1 - -- + -- + O\x /
    2    24
>>> sym.series(1/sym.cos(x), x)
     2      4
    x    5*x     / 6\
1 + -- + ---- + O\x /
    2     24

3.2.3.4.积分

SymPy 支持通过integrate()工具对先验基本函数和特殊函数进行不定和定积分，它使用强大的扩展 Risch-Norman 算法和一些启发式和模式匹配。

>>>

>>> sym.integrate(6 * x ** 5, x)
 6
x
>>> sym.integrate(sym.sin(x), x)
-cos(x)
>>> sym.integrate(sym.log(x), x)
x*log(x) - x
>>> sym.integrate(2 * x + sym.sinh(x), x)
 2
x  + cosh(x)

特殊函数也很容易处理：

>>>

>>> sym.integrate(sym.exp(-x ** 2) * sym.erf(x), x)
  ____    2
\/ pi *erf (x)
--------------
      4

可以计算定积分：

>>>

>>> sym.integrate(x**3, (x, -1, 1))
0
>>> sym.integrate(sym.sin(x), (x, 0, sym.pi / 2))
1
>>> sym.integrate(sym.cos(x), (x, -sym.pi / 2, sym.pi / 2))
2

也支持不定积分：

>>>

>>> sym.integrate(sym.exp(-x), (x, 0, sym.oo))
1
>>> sym.integrate(sym.exp(-x ** 2), (x, -sym.oo, sym.oo))
  ____
\/ pi

3.2.4. 方程求解

SymPy 能够解决代数方程，在一个和多个变量中使用solveset()：

>>>

>>> sym.solveset(x ** 4 - 1, x)
{-1, 1, -I, I}

它将一个应该等于 0 的表达式作为第一个参数。它还（有限）支持超越方程：

>>>

>>> sym.solveset(sym.exp(x) + 1, x)
{I*(2*n*pi + pi) | n in Integers}

线性方程组

Sympy 能够求解大部分多项式方程，并且还能够求解关于多个变量的多个方程，将元组作为第二个参数。使用以下solve()命令：

>>>

>>> solution = sym.solve((x + 5 * y - 2, -3 * x + 6 * y - 15), (x, y))
>>> solution[x], solution[y]

(-3, 1)

多项式方程的另一种选择是 factor。factor返回分解为不可约项的多项式，并且能够计算各个域的分解：

>>>

>>> f = x ** 4 - 3 * x ** 2 + 1
>>> sym.factor(f)
/ 2        \ / 2        \
\x  - x - 1/*\x  + x - 1/

>>> sym.factor(f, modulus=5)
       2        2
(x - 2) *(x + 2)

SymPy 还能够求解布尔方程，即确定某个布尔表达式是否可满足。为此，我们使用可满足的函数：

>>>

>>> sym.satisfiable(x & y)
{x: True, y: True}

这告诉我们，无论何时都是 True并且两者都是 True。如果一个表达式不能为真，即没有任何参数值可以使表达式为真，它将返回 False：(x & y)xy

>>>

>>> sym.satisfiable(x & ~x)
False

3.2.5. 线性代数

3.2.5.1. 矩阵

矩阵是作为 Matrix 类的实例创建的：

>>>

>>> sym.Matrix([[1, 0], [0, 1]])
[1  0]
[    ]
[0  1]

与 NumPy 数组不同，还可以将 Symbols 放入其中：

>>>

>>> x, y = sym.symbols('x, y')
>>> A = sym.Matrix([[1, x], [y, 1]])
>>> A
[1  x]
[    ]
[y  1]

>>> A**2
[x*y + 1    2*x  ]
[                ]
[  2*y    x*y + 1]

3.2.5.2. 微分方程

SymPy 能够求解（一些）普通微分问题。要求解微分方程，请使用 dsolve。首先，通过将 cls=Function 传递给 symbols 函数来创建一个未定义的函数：

>>>

>>> f, g = sym.symbols('f g', cls=sym.Function)

f 和 g 现在是未定义的函数。我们可以调用 f(x)，它将代表一个未知函数：

>>>

>>> f(x)
f(x)

>>> f(x).diff(x, x) + f(x)
         2
        d
f(x) + ---(f(x))
         2
       dx

>>> sym.dsolve(f(x).diff(x, x) + f(x), f(x))
f(x) = C1*sin(x) + C2*cos(x)

可以为此函数提供关键字参数，以帮助找到可能的最佳解析系统。例如，如果你知道它是一个可分离方程，你可以使用关键字hint='separable' 强制 dsolve 将它解析为一个可分离方程：

>>>

>>> sym.dsolve(sym.sin(x) * sym.cos(f(x)) + sym.cos(x) * sym.sin(f(x)) * f(x).diff(x), f(x), hint='separable') 
               /  C1  \                    /  C1  \
 [f(x) = - acos|------| + 2*pi, f(x) = acos|------|]
               \cos(x)/                    \cos(x)/